Macierze i operatory (wykład)

Opis przedmiotu
Informacje ogólne
Organizator:Wydział Matematyki, Informatyki i Architektury Krajobrazu - Instytut Matematyki i Informatyki
Kod ECTS:11900-XXXX-1001WYK0193
Cele przedmiotu
C1 - zapoznanie studenta z zaawansowaną teorią operatorów w skończenie wymiarowych przestrzeniach liniowych w języku funkcyjnym i macierzowym.
Wymagania wstępne
Wykład z algebry liniowej dla I stopnia matematyki.
Efekty kształcenia dla przedmiotu
WIEDZA
W1 K_W04, K_W05 ma pogłębioną wiedzę z teorii operatorów liniowych w przestrzeniach liniowych skończenie wymiarowych w tym na zna większość klasycznych definicji i twierdzeń oraz ich dowody
W2 K_W06, K_W07 zna powiązania zagadnień z teorii operatorów liniowych w przestrzeniach liniowych skończenie wymiarowych z innymi działami matematyki teoretycznej i stosowanej
UMIEJĘTNOŚCI
U1 K_U14, K_U15, K_U16, K_U17 w teorii operatorów liniowych w przestrzeniach liniowych skończenie wymiarowych potrafi przeprowadzać dowody, w których stosuje w razie potrzeby również narzędzia z innych działów matematyki
KOMPETENCJE SPOŁECZNE (POSTAWY)
K1 K_K01 zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia
K2 K_K02 potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania
Metody dydaktyczne
Wykład: wykład tradycyjny.
Ćwiczenia: Rozwiązywanie zadań, dyskusja.
Treści programowe przedmiotu
Podobieństwo macierzy i operatorów. Niezmienniki podobieństwa. Podobieństwo a zapis operatora w bazie. Własności operatorów wyznaczone przez niezmienniki podobieństwa macierzy.Wielomian charakterystyczny. Własności wielomianu charakterystycznego.
Podprzestrzenie niezmiennicze. Wektory własne i wartości własne.
Operatory i macierze diagonalizowalne. Diagonalizacja zespolona i rzeczywista. Funkcje operatorów i macierzy diagonalizowanych. Przedstawienie spektralne operatora.
Podobieństwo do macierzy Jordana. Postać Jordana macierzy. Własności i zastosowania postaci Jordana. Znajdowanie bazy Jordana. Uogólniona postać Jordana macierzy rzeczywistych. Funkcje macierzy niediagonalizowalnych. Diagonalizacja ortonormalna. Charakteryzacja ortonormalnej diagonalizowalnosci w przypadku zespolonym. Operatory normalne. Twierdzenie Schura o unitarnym podobieństwie. Twierdzenie Toeplitza.
Kryteria oceny i sposoby weryfikacji zakładanych efektów kształcenia
Egzamin (dla osób, które zaliczyły ćwiczenia): w grupach poniżej ośmiu osób ustny, powyżej pisemny i ustny dla osób, które nie uzyskały z egzaminu pisemnego 50% sumy punktów;
91% – 100% bardzo dobry (5.0)
81% – 90% dobry plus (4.5)
71% – 80% dobry (4.0)
61% – 70% dostateczny plus (3.5)
50% -60% dostateczny
mniej niż 50% i nie zadany egzamin ustny - niedostateczny (2.0).
W grupach poniżej 8 osób zaliczenie ćwiczeń następuje na podstawie aktywności na zajęciach., powyżej kolokwium pisemne; próg zaliczeniowy kolokwium 50% sumy punktów;
91% – 100% bardzo dobry (5.0)
81% – 90% dobry plus (4.5)
71% – 80% dobry (4.0)
61% – 70% dostateczny plus (3.5)
50% – 60% dostateczny (3.0)
mniej niż 50% niedostateczny i brak aktywności na zajęciach (2.0).
W1 - dyskusja na ćwiczeniach, kolokwium, egzamin
W2 - dyskusja na ćwiczeniach, kolokwium, egzamin
U1 - dyskusja na ćwiczeniach, kolokwium, egzamin

K1 - dyskusja na ćwiczeniach,
K2- dyskusja na ćwiczeniach.
Godzinowe ekwiwalenty punktów ECTS
Wykład 15
Ćwiczenia 15
Konsultacje 30
Przygotowanie do zajęć w tym samodzielne
rozwiązywanie zadań wskazanych przez prowadzącego zajęcia 15
Przygotowanie się do kolokwiów i egzaminu, w tym zapoznanie się
z literaturą 15
Łączna liczba godzin 90
Liczba punktów ECTS 3
Literatura podstawowa i uzupełniająca
Literatura podstawowa:
A. Mostowski M. Stark Algebra liniowa. PWN
L. A. Lusternik, W. I. Sobolew, Elementy analizy funkcjonalnej, PWN,
H. Toruńczyk, Macierze endomorfizmów liniowych - elementy teorii spektralnej” notatki dla studentów U.W. dostępne w internecie.
Literatura uzupełniająca:
I. Gohberg, P. R. Lancaster, and L. Rodman, Invariant Subspaces of Matrices with
Applications. SIAM, Wiley & Sons, Inc.
R.B. Bapat Linear Algebra and Linear Models. Springer.
R. Bellman Introduction to Matrix Analysis. SIAM, McGraw-Hill.
R. Bhatia Matrix Analysis. Springer