Wybrane zagadnienia z teorii liczb (wykład)

Opis przedmiotu
Informacje ogólne
Organizator:Wydział Matematyki, Informatyki i Architektury Krajobrazu - Instytut Matematyki i Informatyki
Kod ECTS:11100-XXXX-1001WYK0092
Kierunek studiów: Matematyka (stacjonarne I stopnia)
Lokalizacja w planach rocznych:
Etap:Rok III - Semestr 6
Punkty ECTS: 2
Forma zaliczenia: Egzamin
Rozkład zajeć
Cele przedmiotu
C1 - Zapoznanie studentów z wybranymi zagadnieniami teorii liczb mającymi elementarne sformułowania.
C2 - Informacja o problemach teorii liczb, które mają elementarne sformułowania, ale nie posiadają elementarnych dowodów lub w ogóle nie są znane ich rozwiązania.
Wymagania wstępne
Brak
Efekty kształcenia dla przedmiotu
WIEDZA
W1. K_W04 zna podstawowe twierdzenia z teorii liczb
W2. K_W05 zna podstawowe przykłady zarówno ilustrujące konkretne pojęcia matematyczne, jak i pozwalające obalić błędne hipotezy lub nieuprawnione rozumowania
UMIEJĘTNOŚCI
U-1 K_U01 Rozumie podstawowe pojęcia teorii liczb.
U-2 K_U01 Zna i umie użyć elementarnych algorytmów teorii liczb .
KOMPETENCJE SPOŁECZNE (POSTAWY)
K1 K_K01 zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia
K2 K_K02 potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania
K3 K_K06 potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze, także w językach obcych
Metody dydaktyczne
Wykład: wykład tradycyjny.
Treści programowe przedmiotu
Podzielność liczb, dzielenie z resztą, największy wspólny dzielnik, algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Postulat Bertranda – twierdzenie Czebyszewa z zarysem dowodu. Liniowe równania diofantyczne. Kongruencje. Rozwiązywanie kongruencji liniowych. Chińskie twierdzenie o resztach. Cechy podzielności. Twierdzenie Eulera i małe twierdzenie Fermata. Liczby Fermata. Twierdzenie Lagrange'a o liczbie pierwiastków kongruencji. Twierdzenie Wilsona. Zagadnienie rozkładu na sumy kwadratów. Twierdzenie Waringa – informacja o jego dowodach. Informacja o twierdzeniu Fermata. Funkcje arytmetyczne. Duże liczby pierwsze. Liczby Mersenne. Omówienie testu Lucasa – Lehmera i przykładowe użycia dla M13 (liczba pierwsza) i M11(liczba złożona). Problem nieskończoności liczb pierwszych bliźniaczych.
Aksjomatyka Peano. Informacja o twierdzeniu Goodsteina i jego niezależności od aksjomatyki Peano. Informacja o twierdzeniu Szemeredi'ego i dowodzenie Tao z użyciem zaawansowanej kombinatoryki.
Kryteria oceny i sposoby weryfikacji zakładanych efektów kształcenia
Egzamin: w grupach poniżej ośmiu osób ustny, powyżej pisemny i ustny dla osób, które nie uzyskały z egzaminu pisemnego 50% sumy punktów;
91% – 100% bardzo dobry (5.0)
81% – 90% dobry plus (4.5)
71% – 80% dobry (4.0)
61% – 70% dostateczny plus (3.5)
50% -60% dostateczny
mniej niż 50% i nie zadany egzamin ustny - niedostateczny (2.0).

W1 - egzamin
W2 - egzamin
W3 - egzamin
U1 - egzamin
U2 - egzamin
U3 - egzamin
K1 - egzamin
K2 - egzamin
K3 - egzamin

Godzinowe ekwiwalenty punktów ECTS
Wykład 30
Konsultacje 30
Przygotowanie do zajęć w tym samodzielne i
przygotowanie się egzaminu, w tym zapoznanie się
z literaturą 15
Łączna liczba godzin 75
Literatura podstawowa i uzupełniająca
Literatura podstawowa :
W.Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, Wyd. UAM, 1999
W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Wyd.5, 1969
J.A Anderson, J.M Bell, Number theory with applications, Prentice Hall, 1997
T. Koshy Elementary number theory with applications. Academic Press. Wyd 2., 2007
Literatura uzupełniająca:
M. B. Nathanson, Elementary methods in number theory, Springer, 1999
A.Y. Khinchin, Three Pearls of Number Theory, Dover Pub., 1952